小池有话说

我的第一个高数老师是个好老师，他教会了我什么是极限。

极限是微积分的基础。

那么，什么是极限呢？

惠施曾经这么说过

一尺之棰，日取其半，万世不竭。

这句话在物理上是否正确，我们不去考究，在数学上，倒是非常的正确。一天之后，大锤的长度为 $\frac{1}{2}$，而两天之后的长度为 $\frac{1}{4}$，三天之后的长度为 $\frac{1}{8}$。很容易得出，n天之后，锤的长度为 $\frac{1}{2^n}$。那么不论多久，n有多大，大锤的长度总是有的。

大锤的长度会变成0吗？显然不会。

我们再看另外一个问题。求

$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{2^i}$$

我们将它写成极限的形式：

$$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2^i}$$

这个问题似乎很难，我们把它写的简单点。

$$\lim _ {n \to\infty}(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^n})$$

这不就是把大锤每天剩下的木料拼起来吗？

惊觉这一点之后，我们知道，木料的总长度是1，所以，这题的结果是1.

但这一题的结果真的是1吗？恐怕不是吧，大锤不论在第几日，总会剩一点点，苍蝇再小也是肉，总有一点留下来。所以，括号里的算式的结果不是1,而是比1小那么一点点。不管n取多大，总会比1小。但这个算式的极限是1。那么什么是极限呢？

1. 极限就是永远达不到的那一点。
2. 极限就是 第一个达不到 点。

第一点我们很好理解。第二点是什么意思呢？我们注意到括号中的式子很显然能达到0.99，那么能不能达到0.99999999呢？可以的（用计算器计算一下就知道了）。我们有信心说，它能达到任何小于1的数（有理数），但就是不能达到1，所以，极限就是第一个达不到的点。

这和我们生活中的说的极限的概念也很类似。我们生活中说某人到极限了，意思就是再接下来他就会死，而数学中的极限是世界上最遥远的距离，永远无法达到，永远一步之遥。