小池有话说

阿贝尔群

2015-04-09

有位大牛写了讲给高中生听,为什么五次以上的方程就没有求根公式

现翻译如下:

序言

阿贝尔群,声称五度以上的代数方程不存在有理求根公式(there exists no finite combinations of radicals and rational functions solving the generic algebraic equation of degree 5 (or higher than 5)),这是数学史上第一个也是最重要的不可能结论。

1963-1964年间,有半年时间我在莫斯科高中教书,其中包括了阿贝尔群的拓扑学证据(topological proof of the Abel theorem)。

从负数的定义和几何学,通过一系列基本问题,再到黎曼曲面。然后是基本的拓扑学记号,比如基本群,覆盖(covering),分歧覆盖(ramified covering),以及其monodromies, braids,等等。

序言

简介

古代的数学家早已知道了一次和二次方程的求根公式。三次和四次方程的求根公式在16世纪也被发现。

如下形式的方程:

其中 $a_0\neq 0$ ,被称为 n次一元一般代数方程(generic algebraic equation of degree in one variable)

对 $n=1$ 我们得到如下线性方程

此方程有唯一解

对 $n=2$ 我们得到如下二次方程

等号两边同时除以 a,并且令 p=b/a 且 q = c/a 我们得到

变换一下

初中阶段我们只考虑 $\frac{p^2}{4}-q \ge 0$ 的情况。如果 $\frac {p^2}{4}-q < 0$ 我们说方程无解。为了避免这种尴尬的状况,我们将会实数域扩展到复数域。

第二章我们将详细探讨复数。但现在读者可以信以为真以下断言。

  1. 复数是实数的超集。就是说,实数是复数的一部分,正如整数是实数的一部分。
  2. 复数也有加减乘除和自然指数运算,正如实数也有这些运算。
  3. 如果 z 是不同于零的一个复数,n是一个自然数,那么存在z的n次开方,也就是存在w使得 $w^n=z$ 。对于z=0,我们有 $\sqrt[n]{z} =0$. 如果 $w_1$和$w_2$是复数z的开平方,那么 $w_1=-w_2$

接下来我们试试将方程的系数也替换成复数。这当然是成立的,请参考复数的规则2。

我们继续研究二次方程。在复数域内,方程(2)等价于

其中 $\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}$指代开平方的定义值。

说回系数 a,b,c 我们得到

接下来我们回忆一下二次方程的两个性质。

  1. 韦达定理 复数 $x_1$ 和 $x_2$ 是方程 $x^2+px+q=0$ 的根。当且仅当 $x_1+x_2=-p$ 且 $x_1 \cdot x_2=q$。确实,如果$x_1$ 和 $x_2$ 是方程的根,那么它们满足方程(3),那么$x_1+x_2=-p$ 且 $x_1 \cdot x_2=q$;反过来,如果他们满足 $x_1+x_2=-p$ 且 $x_1 \cdot x_2=q$ ,那么将p和q的表达式替换进$x^2+px+q=0$里,我们可以发现 $x^2-(x_1+x_2)x+x_1 \cdot x_2=(x-x_1)(x-x_2)=0$,因此$x_1$和$x_2$确实是方程 $x^2+px+q=0$ 的根。
  2. 如果二次三项式 $ax^2+bx+c$ 可以写成完美的平方形式,也就是:$ax^2+bx+c=[\sqrt{a}(x-x_0)]^2$ 此时两根重合,当且仅当$b^2-4ac=0$。$b^2-4ac$被称之为判别表达式。

现在我们来考虑一下化简过的三次方程。

我们可以在普通的三度等式两边同时除以$a_0$来得到如上方程。替换 $x=y+d$(d的选择我们容后再谈)后得到如下方程:

去掉括号,合并同类项之后,我们得到

$y^2$的系数是3d+a,所以,如果我们让d=-a/3,就能将$y^2$消去。于是变成

其中p和q是abc的多项式。

令$y_0$为等式(6)的根。表达为$y_0=\alpha+\beta$ ($\alpha$和$\beta$我们暂时还不知道),那么可得

我们看看能否令$\alpha\beta=-\frac{p}{3}$

这样,我们就得到了$\alpha$和$\beta$的两个等式

根据韦达定理,对于任何$y_0$,$\alpha$和$\beta$(可能是复数)都存在。且它们是如下方程的根。

如果我们取如上的$\alpha$和$\beta$(仍然未知),则等式(7)变换成

将$\alpha\beta=-\frac{p}{3}$升到3次方,然后和等式(8)结合,我们得到

根据韦达定理,$\alpha^3$和$\beta^3$是如下方程的根

所以$\alpha^3=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}$且$\beta^3=-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}$

再一次,$\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}$是开平方的定义值。

因此等式(6)的根被表达为

为什么有3个y呢?因为第一个开立方的值,必须和第二个开立方的值搭配,使得$\alpha\beta=-p/3$。

得到的方程称之为卡尔丹公式(Cardano’s formula),将p和q用abc替换,再用a/3替换,我们得到方程(5)的根。再用$a=a_1/a_0, b=a_2/a_0,c=a_3/a_0$,我们得到普遍的3次方程求根公式。

现在让我们检验化简过的4次方程。

(普遍4次方程两边同时除以$a_0$就可以得到。)

将x替换为$y-a/4$,正如我们在三次方程那里做的一样,我们得到

此处pqr是abcd的多项式。

我们应用法拉利法(Ferrari’s method),得到

此处$\alpha$是任意值。方括号中是一个关于y的二次多项式。

我们想决定$\alpha$ 的值,使得上式称为完美平方。 充要条件是根的判定式为0. 也就是

要求出 $\alpha$ 就要解一个三次方程,这个我们会的。将解出来的 $\alpha$ 放到 11 式中,方括号里面的就变成了完美平方式。11式就变成了两平方数之差。所以可以写成积的形式。是两个关于y的二次的方程。

因此四次方程是可解的。不仅如此,根的形式也可以表示成代数式。这些代数式只包括加减乘除、自然乘方和开方。

在之后的很长的时间里面,数学家们都在寻找5次方程的求根公式。但是在1824年,挪威数学家阿贝尔证明了:

阿贝尔定理:超过4次的方程不存在求根公式。也就是:四次方程不存在根的表达式,其中表达式只有加减乘除、自然数乘方和开方。

在本书的最后,我们会证明这个定理。但在此之前,我们先学一下数学的记号,比如群,有限群,复数函数,黎曼曲面(group, so-luble group, function of a complex variable, Riemann surface)等等。读者将会在接下来的几章熟悉这些数学工具。我们先来讲解群。

第一章 群

1.1 例子

在算术中,我们已经遇到过了将两个数合起来变成一个数的操作。比如加法将数对 (3,5) 变成 8. 将 (2,2) 变成 4.

减法,在整数集合里,将两个数变成一个数。然而,在这里,顺序变得很重要。确实,(5,3) 变成 2,但是 (3,5) 变成 -2 . 所以 在这里 数对 (5,3) 和 (3,5) 是不一样的。

当数对中的元素的顺序被指定,我们就说数对有序。

定义:M为任意集合,若每个有序元素对都和一个元素关联,我们说在M上定义了一个二元操作。

比如,自然数集上的加法操作、整数集上的减法操作,都是二元操作。但是,减法操作在自然数集上不是二元操作,因为数对 (3,5) 不能和任何自然数联系起来。

  1. 考虑一下操作 a) 加法; b) 减法; c) 乘法; 在如下集合: 1) 所有偶自然数; 2) 所有奇自然数; 3) 所有负整数。如何得到二元操作?

让我们考虑一些二元操作的例子。以后,我们会经常回顾这个例子。

例子1 ABC为等边三角形的三个点。我们将三角形以其中心为中心逆时针旋转120度。则顶点A到了顶点B上,B在C上,C在A上。那么最后的三角形和最初的三角形完全重合了(如果忽略顶点的标识)。我们说绕中心转120度这个操作将三角形送到自己身上。我们将这个转换表示为a,我们写为: $a=(ABC & BCA)$ 第一行是三角形的顶点,第二行是最后送到的地方。一个240度旋转的,我们写为b,$b=(ABC & CAB)$。还有一种变形,就是0度的旋转,我们写为e $e=(ABC & ABC)$。很容易看出,在平面上等边三角形到自身的旋转映射只有三种,也就是 e, a, b.

令 $g_1$ $g_2$ 为三角形的任意变换。令 $g_1\dot g_2$ (或者简单的 $g_1g_2$ )表示为 $g_3$ ,是先经过 $g_2$ 再 经过 $g_1$ 的变换的后果。 $g_3$ 被称为 $g_2$ 和 $g_1$ 的 积 或者 复合。