有位大牛写了讲给高中生听，为什么五次以上的方程就没有求根公式

现翻译如下：

序言

阿贝尔群，声称五度以上的代数方程不存在有理求根公式(there exists no finite combinations of radicals and rational functions solving the generic algebraic equation of degree 5 (or higher than 5))，这是数学史上第一个也是最重要的不可能结论。

1963-1964年间，有半年时间我在莫斯科高中教书，其中包括了阿贝尔群的拓扑学证据(topological proof of the Abel theorem)。

从负数的定义和几何学，通过一系列基本问题，再到黎曼曲面。然后是基本的拓扑学记号，比如基本群，覆盖(covering)，分歧覆盖(ramified covering)，以及其monodromies, braids，等等。

序言

简介

古代的数学家早已知道了一次和二次方程的求根公式。三次和四次方程的求根公式在16世纪也被发现。

如下形式的方程：

$$a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots a_{n-1}x+a_n=0$$

其中 $a_0\neq 0$ ，被称为 n次一元一般代数方程(generic algebraic equation of degree in one variable)

对 $n=1$ 我们得到如下线性方程

$$a_0x+a_1=0$$

此方程有唯一解

$$x = - \frac{a_1}{a_0}$$

对 $n=2$ 我们得到如下二次方程

$$ax^2+bx+c=0, a\neq 0 \tag{1}$$

等号两边同时除以 a，并且令 p=b/a 且 q = c/a 我们得到

$$x^2+px+q=0$$

变换一下

$$x^2+px+\frac {p^2}{4} = \frac {p^2}{4}-q$$ $$(x+\frac{p}{2})^2=\frac {p^2}{4}-q \tag{2}$$

初中阶段我们只考虑 $\frac{p^2}{4}-q \ge 0$ 的情况。如果 $\frac {p^2}{4}-q < 0$ 我们说方程无解。为了避免这种尴尬的状况，我们将会实数域扩展到复数域。

第二章我们将详细探讨复数。但现在读者可以信以为真以下断言。

1. 复数是实数的超集。就是说，实数是复数的一部分，正如整数是实数的一部分。
2. 复数也有加减乘除和自然指数运算，正如实数也有这些运算。
3. 如果 z 是不同于零的一个复数，n是一个自然数，那么存在z的n次开方，也就是存在w使得 $w^n=z$ 。对于z=0，我们有 $\sqrt[n]{z} =0$. 如果 $w_1$和$w_2$是复数z的开平方，那么 $w_1=-w_2$

接下来我们试试将方程的系数也替换成复数。这当然是成立的，请参考复数的规则2。

我们继续研究二次方程。在复数域内，方程(2)等价于

$$x+\frac{p}{2} = \pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}$$

其中 $\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}$指代开平方的定义值。

$$x_{1,2}=-\frac p 2 \pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q} \tag{3}$$

说回系数 a,b,c 我们得到

$$x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \tag{4}$$

接下来我们回忆一下二次方程的两个性质。

1. 韦达定理 复数 $x_1$ 和 $x_2$ 是方程 $x^2+px+q=0$ 的根。当且仅当 $x_1+x_2=-p$ 且 $x_1 \cdot x_2=q$。确实，如果$x_1$ 和 $x_2$ 是方程的根，那么它们满足方程(3)，那么$x_1+x_2=-p$ 且 $x_1 \cdot x_2=q$；反过来，如果他们满足 $x_1+x_2=-p$ 且 $x_1 \cdot x_2=q$ ，那么将p和q的表达式替换进$x^2+px+q=0$里，我们可以发现 $x^2-(x_1+x_2)x+x_1 \cdot x_2=(x-x_1)(x-x_2)=0$，因此$x_1$和$x_2$确实是方程 $x^2+px+q=0$ 的根。
2. 如果二次三项式 $ax^2+bx+c$ 可以写成完美的平方形式，也就是：$ax^2+bx+c=[\sqrt{a}(x-x_0)]^2$ 此时两根重合，当且仅当$b^2-4ac=0$。$b^2-4ac$被称之为判别表达式。

现在我们来考虑一下化简过的三次方程。

$$x^3+ax^2+bx+c=0 \tag{5}$$

我们可以在普通的三度等式两边同时除以$a_0$来得到如上方程。替换 $x=y+d$（d的选择我们容后再谈）后得到如下方程：

$$(y+d)^3+a(y+d)^2+b(y+d)+c=0$$

去掉括号，合并同类项之后，我们得到

$$y^3+(3d+a)y^2+(3d^2+2ad+b)y+(d^3+ad^2+bd+c)=0$$

$y^2$的系数是3d+a，所以，如果我们让d=-a/3，就能将$y^2$消去。于是变成

$$y^3+py+q=0 \tag{6}$$

其中p和q是abc的多项式。

令$y_0$为等式(6)的根。表达为$y_0=\alpha+\beta$ ($\alpha$和$\beta$我们暂时还不知道)，那么可得

$$\alpha^3+3\alpha\beta(\alpha+\beta)+\beta^3+p(\alpha+\beta)+q=0$$

及

$$\alpha^3+\beta^3+(\alpha+\beta)(3\alpha\beta+p)+q=0 \tag{7}$$

我们看看能否令$\alpha\beta=-\frac{p}{3}$

这样，我们就得到了$\alpha$和$\beta$的两个等式

$$\begin{cases} \alpha+\beta=y_0, \\ \alpha\beta=-\frac{p}{3}. \end{cases}$$

根据韦达定理，对于任何$y_0$，$\alpha$和$\beta$（可能是复数）都存在。且它们是如下方程的根。

$$w^2-y_0w-\frac{p}{3}=0$$

如果我们取如上的$\alpha$和$\beta$（仍然未知），则等式(7)变换成

$$\alpha^3+\beta^3+q=0 \tag{8}$$

将$\alpha\beta=-\frac{p}{3}$升到3次方，然后和等式(8)结合，我们得到

$$\begin{cases} \alpha^3+\beta^3=-q, \\ \alpha^3\dot\beta^3=-\frac{p^3}{27}. \end{cases}$$

根据韦达定理，$\alpha^3$和$\beta^3$是如下方程的根

$$w^2+qw-\frac{p^3}{27}=0$$

所以$\alpha^3=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}$且$\beta^3=-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}$

再一次，$\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}$是开平方的定义值。

因此等式(6)的根被表达为

$$y_{1,2,3}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}$$

为什么有3个y呢？因为第一个开立方的值，必须和第二个开立方的值搭配，使得$\alpha\beta=-p/3$。

得到的方程称之为卡尔丹公式(Cardano’s formula)，将p和q用abc替换，再用a/3替换，我们得到方程(5)的根。再用$a=a_1/a_0, b=a_2/a_0,c=a_3/a_0$，我们得到普遍的3次方程求根公式。

现在让我们检验化简过的4次方程。

$$x_4+ax_3+bx_2+cx+d=0 \tag{9}$$

（普遍4次方程两边同时除以$a_0$就可以得到。）

将x替换为$y-a/4$，正如我们在三次方程那里做的一样，我们得到

$$y^4+py^2+qy+r=0 \tag{10}$$

此处pqr是abcd的多项式。

我们应用法拉利法(Ferrari’s method)，得到

$$(y^2+\frac{p}{2})^2+qy+(r-\frac{p^2}{4})=0$$

及

$$(y^2+\frac{p}{2}+\alpha)^2-[2\alpha(y^2+\frac{p}{2})+\alpha^2+qy+\frac{p^2}{4}-r]=0 \tag{11}$$

此处$\alpha$是任意值。方括号中是一个关于y的二次多项式。

$$2\alpha y^2-qy+(\alpha p+\alpha^2+\frac{p^2}{4}-r)$$

我们想决定$\alpha$ 的值，使得上式称为完美平方。 充要条件是根的判定式为0. 也就是

$$q^2-8\alpha(\alpha p+\alpha^2+\frac{p^2}{4}-r) =0 \tag{12}$$

要求出 $\alpha$ 就要解一个三次方程，这个我们会的。将解出来的 $\alpha$ 放到 11 式中，方括号里面的就变成了完美平方式。11式就变成了两平方数之差。所以可以写成积的形式。是两个关于y的二次的方程。

因此四次方程是可解的。不仅如此，根的形式也可以表示成代数式。这些代数式只包括加减乘除、自然乘方和开方。

在之后的很长的时间里面，数学家们都在寻找5次方程的求根公式。但是在1824年，挪威数学家阿贝尔证明了：

阿贝尔定理：超过4次的方程不存在求根公式。也就是：四次方程不存在根的表达式，其中表达式只有加减乘除、自然数乘方和开方。

在本书的最后，我们会证明这个定理。但在此之前，我们先学一下数学的记号，比如群，有限群，复数函数，黎曼曲面(group, so-luble group, function of a complex variable, Riemann surface)等等。读者将会在接下来的几章熟悉这些数学工具。我们先来讲解群。

第一章 群

1.1 例子

在算术中，我们已经遇到过了将两个数合起来变成一个数的操作。比如加法将数对 (3,5) 变成 8. 将 (2,2) 变成 4.

减法，在整数集合里，将两个数变成一个数。然而，在这里，顺序变得很重要。确实，(5,3) 变成 2，但是 (3,5) 变成 -2 . 所以 在这里 数对 (5,3) 和 (3,5) 是不一样的。

当数对中的元素的顺序被指定，我们就说数对有序。

定义：M为任意集合，若每个有序元素对都和一个元素关联，我们说在M上定义了一个二元操作。

比如，自然数集上的加法操作、整数集上的减法操作，都是二元操作。但是，减法操作在自然数集上不是二元操作，因为数对 (3,5) 不能和任何自然数联系起来。

1. 考虑一下操作 a) 加法; b) 减法; c) 乘法; 在如下集合: 1) 所有偶自然数; 2) 所有奇自然数; 3) 所有负整数。如何得到二元操作？

让我们考虑一些二元操作的例子。以后，我们会经常回顾这个例子。

例子1 ABC为等边三角形的三个点。我们将三角形以其中心为中心逆时针旋转120度。则顶点A到了顶点B上，B在C上，C在A上。那么最后的三角形和最初的三角形完全重合了（如果忽略顶点的标识）。我们说绕中心转120度这个操作将三角形送到自己身上。我们将这个转换表示为a，我们写为： $a=(ABC & BCA)$ 第一行是三角形的顶点，第二行是最后送到的地方。一个240度旋转的，我们写为b，$b=(ABC & CAB)$。还有一种变形，就是0度的旋转，我们写为e $e=(ABC & ABC)$。很容易看出，在平面上等边三角形到自身的旋转映射只有三种，也就是 e, a, b.

令 $g_1$ $g_2$ 为三角形的任意变换。令 $g_1\dot g_2$ （或者简单的 $g_1g_2$ ）表示为 $g_3$ ，是先经过 $g_2$ 再 经过 $g_1$ 的变换的后果。 $g_3$ 被称为 $g_2$ 和 $g_1$ 的 积 或者 复合。